每日一题[1628]切割线

设函数 $f(x)=4x^3+bx+1$（$b\in \mathbb R$），对任意的 $x \in [-1,1]$，都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

答案    $\{-3\}$．

解析    题意即 $\forall x\in [-1,1],bx+1\geqslant -4x^3$，注意到函数 $y=-4x^3$ 的过点 $(0,1)$ 的切线方程为 $y=-3x+1$ 恰好经过点 $(-1,4)$，因此所求实数 $b$ 的取值范围是 $\{-3\}$．