每日一题[1627]映射计数

已知方程 $E:x_1 +2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=2017$．

1、求使方程 $E$ 有正整数解的 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ 的最大正整数 $n$．

2、用 $A_n$ 表示方程 $E$ 的所有正整数解 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)$ 构成的集合，当 $n$ 为奇数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个奇解；当 $n$ 为偶数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个偶解．证明：方程 $E$ 的所有奇解的个数与偶解的个数相等．

解析

1、根据题意，有 $$2017=x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n\geqslant 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},$$ 于是 $n\leqslant 653$，当 $n=63$ 时，$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(2,\underbrace{1,\cdots,1}_{62})$ 是方程 $E$ 的一组解，因此 $n$ 的最大值为 $63$．

2、构造映射 $f:(x_1,x_2,\cdots,x_n)\mapsto (y_1,y_2,\cdots,y_n)$，其中 $$y_k=\sum_{i=k}^nx_i,k=1,2,\cdots,n$$ 则 $x_k=y_k-y_{k+1}$（$k=1,2,\cdots,n-1$），$x_n=y_n$，因此 $f$ 为一一映射．因此问题转化为方程 $$E':y_1+y_2+y_3+\cdots+y_n=2017$$ 的所有奇解的个数与偶解的个数相等． 接下来构造从奇解到偶解的一一映射 $g:Y\mapsto Y'$，考虑数列 $Y:y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$，设其从第 $1$ 项开始的连续序列 $Y_0$（相邻项相差为 $1$）的最大长度为 $l(Y)$，如 $$l(9,8,7,6,3,2)=4,l(5,4,3,2,1)=5,$$ 等等． [[case]]情形一[[/case]] $l(Y)=n$ 且 $y_n\leqslant l(Y)$．此时 $y_n\leqslant n-1$，否则 $y_n=n$，有 $$Y:n,n+1,n+2,\cdots,2n-1,$$ 所有项之和为 $\dfrac{n(3n-1)}{2}=2017$，没有整数解． [[case]]情形二[[/case]] $l(Y)=n$ 且 $y_n>l(Y)$．此时 $y_n\geqslant n+2$，否则 $y_n=n+1$，有 $$Y:n+1,n+2,n+3,\cdots,2n,$$ 所有项之和为 $\dfrac{n(3n+1)}{2}=2017$，没有整数解． [[case]]情形三[[/case]] $y_n\leqslant l(Y)$．此时将 $Y$ 中的连续序列 $Y_0$ 的前 $y_n$ 项每项加 $1$，然后去掉 $y_n$ 项，得到 $Y'$，如 $$(9,8,7,6,3,2)\mapsto (10,9,7,6,3).$$ [[case]]情形四[[/case]] $y_n>l(Y)$．此时将 $Y$ 中的连续数列 $Y_0$ 的每一项第都减 $1$，然后在最后增加一项为 $l(Y)$，得到 $Y'$，如 $$(10,9,7,6,3)\mapsto (9,8,7,6,3,2).$$ 综上所述，映射 $g$ 是方程 $E'$ 的奇解与偶解的一一映射，因此命题得证．