每日一题[1615]先估再验

设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则方程 $2^x-2[x]-1=0$ 的实数解的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

答案    C．

解析    考虑方程 $2^x-1=2[x]$．当 $x<0$ 时，有 $$2^x-1>-1>-2\geqslant 2[x],$$ 当 $x\geqslant 3$ 时，有 $$2^x-1> 2x\geqslant 2[x],$$ 于是 $2[x]$ 的取值只可能为 $0,2,4$，对应 $x$ 的取值分别为 $0,{\log_2}3,{\log_2}4$，均是题中方程的实数解，因此所求解的个数为 $3$．