每日一题[1607]并项放缩

已知函数 $f(x)=|\sin x|$，$x \in \mathbb R$．

1、证明：$\sin 1 \leqslant f(x)+f(x+1) \leqslant 2\cos \dfrac 12$．

2、证明：对任意的正整数 $n$，有 $$\dfrac {f(n)}{n}+\dfrac {f(n+1)}{n+1}+\cdots+\dfrac {f(3n-1)}{3n-1}>\dfrac {\sin 1}{2}.$$

解析

1、函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数，于是只需要考虑 $x\in [0,\pi)$ 的情形，此时 $$f(x)=\begin{cases} \sin x+\sin(x+1),&x\in[0,\pi-1),\\ \sin x-\sin(x+1),&x\in[\pi-1,\pi),\end{cases}$$ 也即 $$f(x)=\begin{cases} 2\sin\left(x+\dfrac 12\right)\cos\dfrac 12,&x\in[0,\pi-1),\\ -2\sin\dfrac 12\cos\left(x+\dfrac 12\right),&x\in[\pi-1,\pi),\end{cases}$$ 于是 $f(x)$ 在 $[0,\pi-1)$ 上的取值范围是 $\left[\sin 1,2\cos\dfrac 12\right]$，在 $[\pi-1,\pi)$ 上的取值范围是 $\left[\sin 1,2\sin\dfrac 12\right]$，因此命题成立．

2、根据题意，有 $$\begin{split} LHS&>\dfrac{f(n)+f(n+1)}{n+1}+\dfrac{f(n+2)+f(n+3)}{n+3}+\cdots+\dfrac{f(3n-2)+f(3n-1)}{3n-1}\\ &\geqslant \sin 1\cdot \left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{3n-1}\right)\\ &\geqslant \sin1\cdot \dfrac{n^2}{(n+1)+(n+3)+\cdots+(3n-1)}\\ &=\dfrac{\sin 1}2,\end{split}$$ 命题得证．