在棱长为 1 的正方体 C 内,作一个内切大球 O1,再在 C 内作一个小球 O2,使它与大球 O1 外切,同时与正方体的三个面都相切,则球 O2 的表面积为_______.
答案 (7−4√3)π.
解析 如图,取正方体的对角面 BDD1B1.根据对称性,O1,O2 均在正方体的体对角线 BD1 上,且球 O1 和球 O2 均与 BD 相切,设切点分别为 M,N,球 O2 的半径为 r.
在 △O1MB 中,有O1B=√3⋅O1M=√32,
在 △O2NB 中,有O2B=√3⋅O2N=√3r,
于是有O1O2+O2B=O1B⟹12+r+√3r=√32⟹r=2−√32,
于是球 O2 的表面积 S=4πr2=(7−4√3)π.