每日一题[1589]费马点

已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$,且 $x^2+y^2+xy=1$,$y^2+z^2+yz=2$,$z^2+x^2+zx=3$,则 $x+y+z=$ _______.

答案    $\sqrt{3+\sqrt 6}$.

解析    设 $OA=x$,$OB=y$,$OC=z$ 且 $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=120^\circ$,则根据余弦定理,有\[\begin{cases} AB=1,\\ BC=\sqrt 2,\\ CA=\sqrt 3,\end{cases}\]$O$ 为 $\triangle ABC$ 的费马点.以 $BC$ 为底边向外作正三角形 $BCD$,$\triangle COB$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得到 $\triangle CED$.

根据费马点的性质,有\[x+y+z=OA+OB+OC=OA+DE+OE=OD,\]在 $\triangle ACD$ 中,$\angle ABD=150^\circ$,$AB=1$,$BD=BC=\sqrt 2$,应用余弦定理,可得\[AD=\sqrt{AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \angle ABD}=\sqrt{3+\sqrt 6},\]因此 $x+y+z=\sqrt{3+\sqrt 6}$.

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