每日一题[1588]分析截面

在棱长为 $1$ 的正方体 $C$ 内,作一个内切大球 $O_1$,再在 $C$ 内作一个小球 $O_2$,使它与大球 $O_1$ 外切,同时与正方体的三个面都相切,则球 $O_2$ 的表面积为_______.

答案    $\left(7-4\sqrt 3\right)\pi$.

解析    如图,取正方体的对角面 $BDD_1B_1$.根据对称性,$O_1,O_2$ 均在正方体的体对角线 $BD_1$ 上,且球 $O_1$ 和球 $O_2$ 均与 $BD$ 相切,设切点分别为 $M,N$,球 $O_2$ 的半径为 $r$.

在 $\triangle O_1MB$ 中,有\[O_1B=\sqrt 3 \cdot O_1M=\dfrac{\sqrt 3}2,\]在 $\triangle O_2NB$ 中,有\[O_2B=\sqrt 3\cdot O_2N=\sqrt 3r,\]于是有\[O_1O_2+O_2B=O_1B\implies \dfrac 12+r+\sqrt 3r=\dfrac{\sqrt 3}2\implies r=\dfrac{2-\sqrt 3}2,\]于是球 $O_2$ 的表面积 $S=4\pi r^2=\left(7-4\sqrt 3\right)\pi$.

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