每日一题[1587]转化参数

已知函数 $f(x)=a\ln x+x^2-ax$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,且 $x_1>3>x_2$,求证:$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<6\ln 2-\dfrac 92$.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac {2x^2-ax+a}x,\]分子对应的判别式 $\Delta=a(a-8)$,讨论分界点为 $a=0,8$.

情形一     $a<0$.函数 $f(x)$ 在 $(0,x_2)$ 上单调递减,在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增,其中 $x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-8a}}4$.

情形二    $0\leqslant a\leqslant 8$.函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.

情形三   $a>8$.函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递增,在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减,在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增,其中 $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-8a}}4$,$x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-8a}}4$.

2、根据题意结合第 $(1)$ 小题的结果,有 $a>9$,且根据韦达定理,有\[x_1+x_2=x_1x_2=\dfrac a2.\]而\[m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=a\cdot\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}+x_1+x_2-a=2\cdot \dfrac{\ln \dfrac{1}{x_1}-\ln \dfrac 1{x_2}}{\dfrac 1{x_1}-\dfrac{1}{x_2}}-\dfrac a2,\]注意到 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=1$,设 $\dfrac 1{x_2}=x$,则 $\dfrac{1}{x_1}=1-x$,$a=\dfrac{2}{x(1-x)}$,其中 $x\in \left(\dfrac 23,1\right)$,此时\[m=\dfrac{2}{2x-1}\cdot \ln\dfrac{x}{1-x}-\dfrac{1}{x(1-x)},\]令 $\dfrac{x}{1-x}=t$,则 $t\in \left(2,+\infty\right)$,且\[m=-\dfrac{2(1+t)}{1-t}\ln t-t-\dfrac 1t-2,\]于是\[m'=-\dfrac{4\ln t+t^2-4t+\dfrac4t-\dfrac1{t^2}}{(t-1)^2},\]设分子部分为 $\varphi(t)$,则其导函数\[\varphi'(t)=\dfrac {2(t^2+1)(t-1)^2}{t^3},\]于是当 $\varphi(t)$ 单调递增,从而 $m$ 在 $t\in(2,+\infty)$ 上单调递减,因此\[m<m \big|_{t=2}=6\ln 2-\dfrac 92.\]

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