每日一题[1584]联立与斜率积

已知椭圆 $E: x^2+4y^2=4$ 的左、右顶点分别为 $M,N$，过点 $P(-2,2)$ 作直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，且 $A,B$ 位于第一象限，$A$ 在线段 $BP$ 上，直线 $OP$ 与直线 $NA$ 相交于 $C$ 点，连接 $MB,MC,AM$．直线 $AM,AC,MB,MC$ 的斜率分别记为 $k_{AM},k_{AC},k_{MB},k_{MC}$．求证：$\dfrac {k_{MA}}{k_{MB}}=\dfrac {k_{CM}}{k_{CN}}$．

解析    设直线 $BC:x=t(y-2)-2$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(-m,m)$，则由 $C,A,N$ 共线，可得

$$\dfrac{m}{-m-2}=\dfrac{y_1}{x_1-2}\implies m=-\dfrac{2y_1}{x_1+y_1-2},$$ 于是 $$\begin{split} k_{MB}\cdot k_{CM}&=\dfrac{y_2}{x_2+2}\cdot \dfrac{m}{-m+2}\\ &=-\dfrac{y_1y_2}{(x_2+2)(x_1+2y_1-2)}\\ &=-\dfrac{y_1y_2}{(t^2+2t)(2-y_1)(2-y_2)},\end{split}$$ 联立直线 $BC$ 与椭圆方程可得 $$(t^2+4)y^2-(4t^2+4t)y+(4t^2+8t)=0,$$ 于是 $$k_{MB}\cdot k_{ON}=-\dfrac{4t^2+8t}{16(t^2+2t)}=-\dfrac 14=k_{MA}\cdot k_{CN},$$ 命题得证．