每日一题[1583]三角平方差

已知锐角三角形 $ABC$ 中,$\sin (A+B)=\dfrac 35$,$\sin (A-B)=\dfrac 15$,$AB=3$,则 $\triangle ABC$ 的面积为_______.

答案     $3+\dfrac{3\sqrt 6}2$.

解析     根据题意,有 $\sin C=\dfrac 35$,因此 $\triangle ABC$ 的外接圆直径 $d=5$.又 $\triangle ABC$ 为锐角三角形,于是\[\begin{cases} A+B=\pi-\arcsin\dfrac 35,\\ A-B=\arcsin\dfrac 15,\end{cases} \implies \begin{cases} A=\dfrac{\pi}2-\dfrac 12\arcsin\dfrac 35+\dfrac 12\arcsin\dfrac 15,\\ B=\dfrac{\pi}2-\dfrac 12\arcsin\dfrac 35-\dfrac 12\arcsin\dfrac 15,\end{cases}\]因此 $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12d^2\sin A\sin B\sin C\\ &=\dfrac{15}2\left(\sin^2\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac 12\arcsin\dfrac 35\right)-\sin^2\left(\dfrac 12\arcsin\dfrac 15\right)\right)\\ &=\dfrac{15}2\left(\dfrac{1+\cos\arcsin\dfrac 35}{2}-\dfrac{1-\cos\arcsin\dfrac 15}{2}\right)\\ &=\dfrac{15}4\left(\dfrac 45+\dfrac{2\sqrt 6}5\right)\\ &=3+\dfrac{3\sqrt 6}2.\end{split}\]

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