每日一题[1584]联立与斜率积

已知椭圆 $E: x^2+4y^2=4$ 的左、右顶点分别为 $M,N$,过点 $P(-2,2)$ 作直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点,且 $A,B$ 位于第一象限,$A$ 在线段 $BP$ 上,直线 $OP$ 与直线 $NA$ 相交于 $C$ 点,连接 $MB,MC,AM$.直线 $AM,AC,MB,MC$ 的斜率分别记为 $k_{AM},k_{AC},k_{MB},k_{MC}$.求证:$\dfrac {k_{MA}}{k_{MB}}=\dfrac {k_{CM}}{k_{CN}}$.

解析    设直线 $BC:x=t(y-2)-2$,$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(-m,m)$,则由 $C,A,N$ 共线,可得\[\dfrac{m}{-m-2}=\dfrac{y_1}{x_1-2}\implies m=-\dfrac{2y_1}{x_1+y_1-2},\]于是\[\begin{split} k_{MB}\cdot k_{CM}&=\dfrac{y_2}{x_2+2}\cdot \dfrac{m}{-m+2}\\ &=-\dfrac{y_1y_2}{(x_2+2)(x_1+2y_1-2)}\\ &=-\dfrac{y_1y_2}{(t^2+2t)(2-y_1)(2-y_2)},\end{split}\]联立直线 $BC$ 与椭圆方程可得\[(t^2+4)y^2-(4t^2+4t)y+(4t^2+8t)=0,\]于是\[k_{MB}\cdot k_{ON}=-\dfrac{4t^2+8t}{16(t^2+2t)}=-\dfrac 14=k_{MA}\cdot k_{CN},\]命题得证.

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