每日一题[1585]完全平方数

已知无穷数列 $\{x_n\},\{y_n\}$:对任意正整数 $n$,$x_{n+1}=3x_n+2y_n$,$y_{n+1}=4x_n+3y_n$,且 $x_1=3$,$y_1=4$.

1、求证:$\{2x_n^2-y_n^2\}$ 为常数列.

2、分别判断数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中是否含有整数的立方.

解析

1、根据题意,有\[\begin{cases} x_{n+1}=3x_n+2y_n,\\ y_{n+1}=4x_n+3y_n,\end{cases}\implies 2x_{n+1}^2-y_{n+1}^2=2(3x_n+2y_n)^2-(4x_n+3y_n)^2=2,\]为常数列,命题得证.

2、不含,只需要证明关于 $x,y$ 的方程 $2x^6-y^2=2$ 和 $2x^2-y^6=2$ 均无正整数解. 对于第一个方程,显然 $y$ 为偶数,设 $y=2z$,则\[x^6-2z^2=1\iff (x^3-1)(x^3+1)=2z^2,\]于是 $x$ 为不小于 $3$ 的奇数,考虑到 $(x^3-1,x^3+1)=2$,于是 $x^3-1=at^3$,其中 $a=1$ 或 $a=2$,且 $t$ 为正整数.进而\[(x-1)(x^2+x+1)=at^2,\]因为 $(x-1,x^2+x+1)=1$ 且 $x-1$ 为偶数,$x^2+x+1$ 为奇数,从而 $x^2+x+1$ 为完全平方数,而\[x^2<x^2+x+1<(x+1)^2,\]矛盾. 对于第二个方程,显然 $y$ 为偶数,设 $y=2z$,则\[x^2-32z^6=1\iff \dfrac{x-1}2\cdot \dfrac{x+1}2=(2z^2)^3,\]于是 $x$ 为不小于 $3$ 的奇数,考虑到 $\left(\dfrac{x-1}2,\dfrac{x+1}2\right)=1$,于是 $\dfrac{x-1}2=t_1^3$,$\dfrac{x+1}2=t_2^3$,其中 $t_1t_2=2z^2$,且 $t_1,t_2\in\mathbb N^{\ast}$,因此 $t_2^3-t_1^3=1$,矛盾. 综上所述,数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中不含有整数的立方.

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