已知 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=|a^2x^2-1|+ax$，若 $f(x)\geqslant|x|$ 对一切 $x\in[b,+\infty)$ 都成立，则 $m=a^2b^2+\left(b-\dfrac12\right)^2$ 的最小值为________．
答案 $\dfrac 18$．
解析 显然 $a\ne 0$，根据题意，有\[\forall x\in [b,+\infty),|(ax)^2-1|+ax\geqslant \dfrac{|ax|}{|a|},\]也即\[\forall x\in [b,+\infty),\left|ax-\dfrac{1}{ax}\right|+\dfrac{ax}{|ax|}\geqslant \dfrac{1}{|a|}.\]记 $g(x)=\left|x-\dfrac 1x\right|+\dfrac x{|x|}$，其函数图象如图．
情形一 $a\geqslant 1$．此时题意即\[\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]代数式\[m\geqslant b^2+\left(b-\dfrac 12\right)^2=2b^2-b+\dfrac 14\geqslant \dfrac 18,\]等号当 $a=1$，$b=\dfrac 14$ 时取得．
情形二 $0<a<1$．此时题意即\[\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]进而 $ab>1$，因此 $m>1$．
情形三 $a<0$．此时题意即\[\forall x\in (-\infty,ab],g(x)\geqslant \dfrac 1a,\]进而 $ab<-1$，因此 $m>1$．
综上所述，$m$ 的最小值为 $\dfrac 18$，当 $a=1$，$b=\dfrac 14$ 时取得．