每日一题[1563]化简函数

已知 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=|a^2x^2-1|+ax$，若 $f(x)\geqslant|x|$ 对一切 $x\in[b,+\infty)$ 都成立，则 $m=a^2b^2+\left(b-\dfrac12\right)^2$ 的最小值为________．

答案      $\dfrac 18$．

解析      显然 $a\ne 0$，根据题意，有

$$\forall x\in [b,+\infty),|(ax)^2-1|+ax\geqslant \dfrac{|ax|}{|a|},$$ 也即 $$\forall x\in [b,+\infty),\left|ax-\dfrac{1}{ax}\right|+\dfrac{ax}{|ax|}\geqslant \dfrac{1}{|a|}.$$ 记 $g(x)=\left|x-\dfrac 1x\right|+\dfrac x{|x|}$，其函数图象如图．

情形一      $a\geqslant 1$．此时题意即

$$\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,$$ 代数式 $$m\geqslant b^2+\left(b-\dfrac 12\right)^2=2b^2-b+\dfrac 14\geqslant \dfrac 18,$$ 等号当 $a=1$，$b=\dfrac 14$ 时取得．

情形二      $0<a<1$．此时题意即

$$\forall x\in [ab,+\infty),g(x)\geqslant \dfrac 1a,$$ 进而 $ab>1$，因此 $m>1$．

情形三      $a<0$．此时题意即

$$\forall x\in (-\infty,ab],g(x)\geqslant \dfrac 1a,$$ 进而 $ab<-1$，因此 $m>1$．

综上所述，$m$ 的最小值为 $\dfrac 18$，当 $a=1$，$b=\dfrac 14$ 时取得．