每日一题[1541]分类汇编

已知圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的封闭区域内（含边界）整点数的 $\dfrac 1 5$，则正实数 $a$ 的取值范围是______．

答案       $[22,23)$．

解析       圆 $x^2+y^2=8$ 围成的区域中的整点个数为 $$1+4\sum_{k=0}^2\left[\sqrt{8-k^2}\right]=25,$$ 进而椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的区域中的整点个数为 $$1+2[a]+4+4\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=125,$$ 于是 $$[a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=60,$$ 注意到左侧关于 $a$ 不减，于是列表计算 $$\begin{array}{c|cccc}\hline a&20&21&22&23\\ \hline [a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]&54&57&60&61\\ \hline \end{array}$$ 因此所求正实数 $a$ 的取值范围是 $[22,23)$．

备注       若所解方程变为 $$[a]+2\left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=57,$$ 则通过列表可得 $21\leqslant a<22$，于是 $$\begin{cases} 21<a<22,\\ \left[\dfrac{\sqrt 3a}2\right]=18,\end{cases}\iff 21\leqslant a<\dfrac{38}{\sqrt 3}.$$