每日一题[1502]先猜后证

设 $x,y,z\geqslant0$，且至多有一个为 $0$，求

$$f(x,y,z)= \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}} + \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}} +\sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}}$$ 的最小值．

答案      $12$．

解析      不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，题中代数式为 $m$．

探索      注意到 $z=0$ 时，有

$$\begin{split} m&=\dfrac xy+\dfrac yx+16\sqrt{\dfrac{xy}{x^2+y^2}}\\ &=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+8\sqrt{\dfrac {xy}{x^2+y^2}}+8\sqrt{\dfrac{xy}{x^2+y^2}}\\ &\geqslant 3\cdot 64^{\frac 13}=12,\end{split}$$ 等号当 $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=4$ 时取得，于是猜想所求最小值为 $12$．

证明      考虑

$$\dfrac{x^2+256yz}{y^2+z^2}-\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{z(256y^3-x^2z)}{(y^2+z^2)y^2},$$ 于是当 $256y^3\geqslant x^2z$ 时，有 $$\begin{cases} \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}}\geqslant \dfrac xy,\\ \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}}\geqslant \dfrac yx,\\ \sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}}\geqslant \sqrt{\dfrac{256xy}{x^2+y^2}},\end{cases}$$ 因此 $m\geqslant 12$． 当 $256y^3<x^2z$ 时，有 $$x^2>\dfrac{256y^3}{z}=256y^2\cdot \dfrac yz\geqslant 256y^2,$$ 于是 $$m\geqslant \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}}>\sqrt{\dfrac{256(y^2+yz)}{y^2+z^2}}>16.$$ 综上所述，所求最小值为 $12$，当 $\dfrac xy=2\pm \sqrt 3$ 且 $z=0$ 时可以取得．