每日一题[1482]排序映射

已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$（$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$，$n\geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$），$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$．

1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．

2、证明：$a_{1}=1$，且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$．

3、证明：当 $n=5$ 时，$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列．

解析

1、$\{1,3,4\}$ 不具有性质 $P$；$\{1,2,3,6\}$ 具有性质 $P$．

2、因为 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$ 具有性质 $P$，所以 $a_{n}a_{n}$ 与 $\dfrac{a_{n}}{a_{n}}$ 中至少有一个属于 $A$． 由于 $$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n},$$ 所以 $a_{n}a_{n}>a_{n}$，故 $a_{n}a_{n}\not\in A$，从而 $1=\dfrac{a_{n}}{a_{n}}\in A$，故 $$a_{1}=1.$$ 因为 $$1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n},$$ 所以 $a_{k}a_{n}>a_{n}$，故 $a_{k}a_{n}\not\in A(k=2,3,\cdots,n)$，由于 $A$ 具有性质 $P$ 可知 $$\dfrac{a_{n}}{a_{k}}\in A(k=1,2,\cdots,n).$$ 又因为 $\dfrac{a_{n}}{a_{n}}<\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}<\cdots<\dfrac{a_{n}}{a_{2}}<\dfrac{a_{n}}{a_{1}}$，所以 $$\dfrac{a_{n}}{a_{n}}=a_{1},\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=a_{2},\cdots,\dfrac{a_{n}}{a_{2}}=a_{n-1},\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=a_{n}.$$ 从而 $$\dfrac{a_{n}}{a_{n}}+\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}+\cdots+\dfrac{a_{n}}{a_{2}}+\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n},$$ 故 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$．

3、由第$(2)$小题的结果知，当 $n=5$ 时，有 $\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=a_{2}$，$\dfrac{a_{5}}{a_{3}}=a_{3}$，即 $$a_{5}=a_{2}a_{4}=a_{3}^{2}.$$ 因为 $1=a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{5}$，所以 $$a_{3}a_{4}>a_{2}a_{4}=a_{5},$$ 故 $a_{3}a_{4}\not\in A$． 由 $A$ 具有性质 $P$ 可知 $\dfrac{a_{4}}{a_{3}}\in A$． 由 $a_{2}a_{4}=a_{3}^{2}$ 得 $$\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\in A\land 1<\dfrac{a_{3}}{a_{2}}<a_{3},$$ 所以 $$\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=a_{2},$$ 故 $$\dfrac{a_{5}}{a_{4}}=\dfrac{a_{4}}{a_{3}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=a_{2},$$ 即 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 是首项为 $1$，公比为 $a_{2}$ 的等比数列．