每日一题[1475]复数的三角形式

设复数 $z$，$\left|z+\dfrac 1z\right|=1$，则 $|z|$ 的取值范围为_______．

答案      $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right]$．

解析       设 $z=(\theta:r)$，则根据题意，有

$$\left|\left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta+{\rm i}\left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta\right|=1,$$ 即 $$r^2+\dfrac 1{r^2}+2\cos2\theta=1,$$ 因此 $|z|$ 的取值范围由不等式 $$r^2+\dfrac{1}{r^2}\leqslant 3$$ 确定，解得所求取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right]$．

练习      （2014年高中数学联赛安徽省预赛）设复数 $z$ 满足 $\left|z+\dfrac 1z\right|\leqslant 2$，则 $|z|$ 的取值范围是 _______．

答案      $\big[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\big]$．