每日一题[1473]数列上界估计

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 是由正整数组成的无穷数列．对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，$a_n$ 满足如下两个条件： ① $a_n$ 是 $n$ 的倍数； ② $|a_n-a_{n+1}|\leqslant 5$．

1、若 $a_1=30$，$a_2=32$，写出满足条件的所有 $a_3$ 的值．

2、求证：当 $n\geqslant 11$ 时，$a_n\leqslant 5n$．

3、求 $a_1$ 所有可能取值中的最大值．

解析

1、$a_3$ 的值可取 $27,30,33,36$．

2、因为对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，都有

$$a_n\leqslant 5(n-1)+a_1,$$ 所以当 $n\geqslant a_1$ 时，有 $$a_n\leqslant 6n-5<6n,$$ 从而 $a_n\leqslant 5n$．因此满足 $$a_k\geqslant 6k$$ 的正整数 $k$ 只有有限多个，设这些正整数 $k$ 中最大的为 $m$，则 $$\begin{split} a_m&\geqslant 6m,\\ a_{m+1}&\leqslant 5(m+1), \end{split}$$ 故 $$5\geqslant a_m-a_{m+1}\geqslant 6m-5(m+1)=m-5,$$ 解得 $m\leqslant 10$．因此当 $n\geqslant 11$ 时，$a_n\leqslant 5n$．

3、根据题意，有

$$\begin{array} {c|ccccccccccc}\hline n&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\ \hline a_n\leqslant &55&60&63&64&63&66&70&72&75&80&85\\ \hline \end{array}$$ 于是如上述列举取值，且当 $n\geqslant 12$ 时，$a_n=5n$，则该数列符合题意．因此 $a_1$ 的最大值为 $85$．