每日一题[1471]特征根法

给定正整数 $N$，对任意的正整数 $n$，设数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$，$a_2=1$，且

$$a_{n+1}+a_{n-1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n,n\geqslant 2.$$

1、当 $N=1$ 时，求 $a_6$ 及 $\{a_n\}$ 前 $2015$ 项的和 $S_{2015}$．

2、证明：对所有的正整数 $n$，都有 $a_n<\sqrt{N+1}$．

解析

1、当 $N=1$ 时，有

$$a_{n+1}=a_n-a_{n-1},$$ 于是 $$\begin{array} {c|cccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n&0&1&1&0&-1&-1&0&1\\ \hline \end{array}$$ 因此 $a_6=-1$，且 $\{a_n\}$ 是周期为 $6$ 的数列，于是 $$S_{2015}=S_5=1.$$

2、根据题意，有

$$a_{n+1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n-a_{n-1},$$ 由特征根法，其特征方程 $$x^2=\left(2-\dfrac 1N\right)x-1$$ 对应的特征根为 $z$ 和 $\overline z$，其中 $|z|=1$．因此 $$a_n=\dfrac{z^n-\overline z^n}{\dfrac{1}{N}\sqrt{4N-1}\cdot {\rm i}},$$ 进而 $$a_n=|a_n|\leqslant \dfrac{2N|z|^n}{\sqrt{4N-1}}=\dfrac{2N}{\sqrt{4N-1}}=\sqrt{N+1}\cdot \sqrt{\dfrac{4N^2}{4N^2+3N-1}}<\sqrt{N+1},$$ 命题得证．