每日一题[1433]权方和

已知 $a,b,c>0$，且 $2a^2+b^2=9c^2$，则 $m=\dfrac{2c}{a}+\dfrac cb$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} m&=\dfrac {\left(2c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(2a^2)^{\frac 12}}+\dfrac {\left(c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(b^2)^{\frac 12}}\\ &\geqslant \dfrac{\left(2c^{\frac 23}+c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{\left(2a^2+b^2\right)^{\frac 12}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $$\dfrac{2c^{\frac 23}}{2a^2}=\dfrac{c^{\frac 23}}{b^2}$$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．