设 $a,b\geqslant \dfrac 12$ 且 $a^2+b^2=a+b$，则 $M=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}b$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[2,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
B．$\left[1,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
C．$\left[2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
D．$\left[1,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
答案 A．
解析 根据题意，有\[\begin{split} M&=\left(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}b\right)\cdot \dfrac{a+b}{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{a^4+b^4}{a^3b+ab^3}+1\\ &=\dfrac{k^4+1}{k^3+k}+1\\ &=\dfrac{k^2+\dfrac{1}{k^2}}{k+\dfrac 1k}+1\\ &=k+\dfrac 1k-\dfrac{2}{k+\dfrac 1k}+1,\end{split}\]其中 $k=\dfrac ab$．而\[\left(a-\dfrac 12\right)^2+\left(b-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 12,\]规划可得 $\dfrac ab$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right]$，进而 $k+\dfrac 1k$ 的取值范围是 $\left[2,2\sqrt 2\right]$，又 $M$ 关于 $k+\dfrac 1k$ 单调递增，从而 $M$ 的取值范围为 $\left[2,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$．