每日一题[1430]对勾换元

设 $a,b\geqslant \dfrac 12$ 且 $a^2+b^2=a+b$,则 $M=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}b$ 的取值范围是(       )

A.$\left[2,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

B.$\left[1,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

C.$\left[2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

D.$\left[1,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$

答案    A.

解析    根据题意,有\[\begin{split} M&=\left(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}b\right)\cdot \dfrac{a+b}{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{a^4+b^4}{a^3b+ab^3}+1\\ &=\dfrac{k^4+1}{k^3+k}+1\\ &=\dfrac{k^2+\dfrac{1}{k^2}}{k+\dfrac 1k}+1\\ &=k+\dfrac 1k-\dfrac{2}{k+\dfrac 1k}+1,\end{split}\]其中 $k=\dfrac ab$.而\[\left(a-\dfrac 12\right)^2+\left(b-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 12,\]规划可得 $\dfrac ab$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right]$,进而 $k+\dfrac 1k$ 的取值范围是 $\left[2,2\sqrt 2\right]$,又 $M$ 关于 $k+\dfrac 1k$ 单调递增,从而 $M$ 的取值范围为 $\left[2,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$.

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