每日一题[1429]分离参数

已知函数 $f(x)=x^2+a\ln x$($a$ 为常数). 若函数 $f(x)$ 的图象在 $x=1$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $-2$,

1、求实数 $a$ 的值.

2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

3、当 $a>0$ 时,若关于 $x$ 的方程 $2{\rm e}f(x)=x^3+4{\rm e}x$ 的解集非空,求实数 $a$ 的取值范围.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x+\dfrac ax,\]于是函数 $f(x)$ 的图象在 $x=1$ 处的切线方程为\[y=f(1)+f'(1)(x-1),\]也即\[y=1+(2+a)(x-1),\]也即\[y=(a+2)x-a-1,\]该直线在 $y$ 轴上的截距\[-a-1=-2,\]于是实数 $a$ 的值为 $1$.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,有\[f'(x)=\dfrac{2x^2+a}{x},\]记 $g(x)=2x^2+a$,则由于 $g(0)=a$,因此按 $a$ 的分界点 $0$ 展开讨论.

情形一     $a\geqslant 0$.此时在 $x\in (0,+\infty)$ 上,$g(x)>0$,于是 $f(x)$ 单调递增.

情形二   $a<0$.此时在 $x\in \left(0,\sqrt{-\dfrac a2}\right)$ 上,$g(x)<0$;在 $\left(\sqrt{-\dfrac a2},+\infty\right)$ 上,$g(x)>0$.于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{-\dfrac a2}\right)$ 上单调递减,在 $\left(\sqrt{-\dfrac a2},+\infty\right)$ 上单调递增.

3、根据题意,有\[\exists x>0,2{\rm e}x^2+2{\rm e}a\ln x=x^3+4{\rm e}x,\]也即\[\exists x>0\land x\ne 1,a=\dfrac{x^3-2{\rm e}x^2+4{\rm e}x}{2{\rm e}\ln x},\]记等式右侧函数为 $h(x)$,则其导函数\[h'(x)=\dfrac{(3x^2-4{\rm e}x+4{\rm e})\ln x-x^2+2{\rm e}x-4{\rm e}}{2{\rm e}\ln^2x},\]由于当 $0<x<{\rm e}$ 时,有\[\ln x<1<\dfrac{x^2-2{\rm e}x+4{\rm e}}{3x^2-4{\rm e}x+4{\rm e}},\]而当 $x>{\rm e}$ 时,有\[\ln x >1>\dfrac{x^2-2{\rm e}x+4{\rm e}}{3x^2-4{\rm e}x+4{\rm e}},\]于是函数 $h(x)$ 满足\[\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&0+&(0,1)&1-&1+&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&0&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&2{\rm e}-\dfrac 12{\rm e}^2&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\] 于是实数 $a$ 的取值范围是 $\left[2{\rm e}-\dfrac 12{\rm e}^2,+\infty\right)$.

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