每日一题[1416]消弭外心

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，有 $|AB|=2$，$|AC|=4$，则 $|AO|\cdot |BC|$ 的最小值是_______．

答案    $6$．

解法一    设 $|BC|=2x$，则根据海伦公式，有 $\triangle ABC$ 的面积 $$S=\sqrt{(3+x)(1+x)(-1+x)(3-x)}=\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)},$$ 于是 $$|AO|=\dfrac{|AB|\cdot |BC|\cdot |CA|}{4S}=\dfrac{4x}{\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)}},$$ 因此 $$|AO|\cdot |BC|=\dfrac{8x^2}{\sqrt{(9-x^2)(x^2-1)}}=\dfrac{8}{\sqrt{-1+\dfrac{10}{x^2}-\dfrac 9{x^4}}}\geqslant 6,$$ 等号当 $x=\dfrac{3}{\sqrt 5}$ 时取得，因此所求的最小值为 $6$．

解法二    根据题意，应用正弦定理和余弦定理有 $$\begin{split} |AO|\cdot |BC|&=\dfrac 12\cdot \dfrac{|BC|^2}{\sin A}\\ &=\dfrac{10-8\cos A}{\sin A}\\ &\geqslant \dfrac{\sqrt{10^2-8^2}\cdot \sqrt{1-\cos^2A}}{\sin A}\\ &=6,\end{split}$$ 等号当 $\cos A=\dfrac 45$ 时取得，因此所求最小值为 $6$．