每日一题[1406]舒尔不等式

设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$．

解析    设 $p=a+b+c$，$q=ab+bc+ca$，$r=abc$，则题中不等式即 $$(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)+9abc\geqslant 0,$$ 即 $$p^2-4q+9r\geqslant 0,$$ 也即 $$p^3-4pq+9r\geqslant 0,$$ 根据 $\tt Schur$ 不等式，命题得证．

练习1、设 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$9abc\leqslant ab+bc+ca\leqslant \dfrac 14(1+9abc)$．

练习2、已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$2(a^3+b^3+c^3)+3abc\geqslant 9$．