每日一题[1402]代数手段

已知向量 $a,b$ 满足 $|a+b|+2|a-b|=15$，$|a|=3$，则 $|b|$ 的最大值为_______；$|b|$ 的最小值为_______．

答案    $6$；$\dfrac{3\sqrt 6}2$．

解析    一方面，有

$$|a+b|+2|a-b|\geqslant |(a+b)-2(a-b)|=|-a+3b|\geqslant 3|b|-|a|,$$ 于是 $$|b|\leqslant \dfrac{|a+b|+2|a-b|+|a|}3=6,$$ 等号当 $a$ 与 $b$ 同向时取得．因此所求最大值为 $6$． 另一方面，有 $$|a+b|+2|a-b|\leqslant \sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{|a+b|^2+|a-b|^2}=\sqrt 5\cdot \sqrt{2|a|^2+2|b|^2},$$ 于是 $$|b|\geqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|a+b|+2|a-b|}{\sqrt 5}\right)^2-|a|^2=\dfrac{3\sqrt 6}2,$$ 等号当 $|a+b|=3$，$|a-b|=6$ 时取得．因此所求最小值为 $\dfrac{3\sqrt 6}2$．