每日一题[1392]半角定理

已知在 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac A2\tan \dfrac B2=\dfrac 13$，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 中角 $A,B,C$ 的对边．

1、求证：$a,b,c$ 经过排列后可以组成等差数列．

2、设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$\triangle ABC$ 的周长为 $12$，且 $c-a=1$，求 $m=\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$ 的值．

解析

1、设 $2p=a+b+c$，则根据半角定理，有 $$\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\cdot \sqrt{\dfrac{(p-c)(p-a)}{p(p-b)}}=\dfrac {p-c}{p},$$ 因此有 $$\dfrac{p-c}p=\dfrac 13,$$ 即 $$2p=3c,$$ 也即 $$a+b=2c,$$ 因此 $a,c,b$ 构成等差数列，命题成立．

2、根据题意，有 $$\begin{cases} a+b+c=12,\\ a+b=2c,\\ c-a=1,\end{cases}$$ 解得 $$(a,b,c)=(3,5,4),$$ 于是 $\triangle ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形，进而 $O$ 为斜边 $AC$ 的中点，有 $$OA=OB=OC=\dfrac 52,$$ 因此 $$m=\left(\dfrac 52\right)^2\cdot \left(\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COA\right)=-\dfrac{25}{4}.$$