每日一题[1385]朗博函数

已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $(-\infty,1]$．

解法一    分离变量，问题即

$$\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,$$ 记右侧函数为 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+\ln x}{x^2},$$ 注意到分子部分单调递增且当 $x\to 0+$ 时趋于 $-\infty$，当 $x=1$ 时为正值，因此 $f'(x)$ 有唯一零点 $m$，且 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=m$ 处取得极小值亦为最小值 $f(m)$，其中 $m$ 是关于 $x$ 的方程 $$x^2{\rm e}^x+\ln x=0$$ 的解．该方程即 $${\rm e}^x\cdot \ln{\rm e}^x=\dfrac 1x\cdot \ln \dfrac 1x,$$ 注意到函数 $y=x\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是该方程即 $${\rm e}^x=\dfrac 1x,$$ 从而 $$m{\rm e}^m=-\dfrac{\ln m}{m}=1.$$ 进而 $$f(m)={\rm e}^m-\dfrac{\ln m}m-\dfrac 1m=1,$$ 因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

解法二    分离变量，问题即

$$\forall x>0,a\leqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,$$ 记右侧函数为 $f(x)$，则 $$f(x)=\dfrac{x{\rm e}^x-\ln x-1}{x}=\dfrac{{\rm e}^{x+\ln x}-\ln x-1}{x}\geqslant \dfrac{(x+\ln x+1)-\ln x-1}{x}=1,$$ 等号当 $x+\ln x=0$ 时取得，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

备注    实际上，方程 $x+\ln x=0$ 的解即 $x=W(1)$，其中 $W(x)$ 为朗博函数．