每日一题[1384]钝角空间

空间中从同一点出发两两成钝角的射线最多有多少条？证明你的结论．

证明    可以证明一个更强的结论：

引理    已知 $n\geqslant 2$，且 $n\in\mathbb N$，则最多有 $n+1$ 个 $n$ 维向量，使得它们中任意两个的数量积均为负数．

引理的证明    先构造 $n+1$ 个向量的例子，$\overrightarrow p_i$ 只在第 $i$ 个分量上为 $-1$，其分量均为 $\dfrac 1n$，如 $$\overrightarrow p_3=\left(\dfrac 1n,\dfrac 1n,-1,\dfrac 1n,\cdots,\dfrac 1n\right),$$ 而 $$\overrightarrow p_{n+1}=(1,1,\cdots,1),$$ 则当 $1\leqslant i<j<n+1$ 时，有 $$\overrightarrow p_i\cdot \overrightarrow p_j=-\dfrac 2n+\dfrac{n-2}{n^2}=\dfrac{-n-2}{n^2}<0,$$ 当 $j=n+1$ 时，有 $$\overrightarrow p_i\cdot \overrightarrow p_j=\dfrac{n-1}{n}-1=-\dfrac 1n<0,$$ 符合要求． 接下来证明不可能存在符合要求的 $n+2$ 个向量．用反证法．若有 $n+2$ 个向量符合要求，设为 $\overrightarrow p_i$（$i=1,2,\cdots,n,n+1,n+2$），由于 $\overrightarrow p_1,\overrightarrow p_2,\cdots,\overrightarrow p_n,\overrightarrow p_{n+1}$ 线性相关，于是 $$\lambda_1\overrightarrow p_1+\lambda_2\overrightarrow p_2+\cdots+\lambda_n\overrightarrow p_n+\lambda_{n+1}\overrightarrow p_{n+1}=\overrightarrow 0,$$ 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$ 均为实数且不全为零．两边对 $\overrightarrow p_{n+2}$ 作数量积，则 $$\lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_2+\cdots+\lambda_{n+1}\mu_{n+1}=0,$$ 其中 $\mu_i$（$i=1,2,\cdots,n+1$）均为负数，因此 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$ 必然同时有正数和负数．在 $\lambda_i\overrightarrow p_i$（$i=1,2,\cdots,n+1$）中舍去为系数 $0$ 的项，将系数为正数的项留在左侧，系数为负数的项移到右侧，可得 $$\lambda_{i_1}\overrightarrow p_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_k}\overrightarrow p_{i_k}=(-\lambda_{j_1})\overrightarrow p_{j_1}+\cdots+(-\lambda_{j_l})\overrightarrow p_{j_l},$$ 其中 $\lambda_{i_1},\cdots,\lambda_{i_k},-\lambda_{j_1},\cdots,-\lambda_{j_l}$ 均为正数．记左侧向量与右侧向量均为 $\overrightarrow v$，左右两侧作数量积，有 $$\overrightarrow v\cdot \overrightarrow v=\left(\lambda_{i_1}\overrightarrow p_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_k}\overrightarrow p_{i_k}\right)\cdot \left((-\lambda_{j_1})\overrightarrow p_{j_1}+\cdots+(-\lambda_{j_l})\overrightarrow p_{j_l}\right)<0,$$ 矛盾．因此不可能存在符合要求的 $n+2$ 个向量，引理得证．