每日一题[1375]最小角和最大角

已知 $P$ 是直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面 $A_1B_1C_1$ 上一点， $Q$ 为直线 $BC$ 上的动点，若直线 $PA$ 与 $AQ$ 所角的最小值和直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值相等，则满足条件的点 $P$ 的轨迹是（）

A．直线的一部分

B．圆的一部分

C．抛物线的一部分

D．以上答案都不对

答案 C．

解析如图，设 $P$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $M$ ，过 $M$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为 $H$ ，连接 $MA,MH,PH$ ．

根据题意，直线 $PA$ 与 $AQ$ 所成角的最小值为 $\angle PAM$ ，直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值为 $\angle PHM$ ，由

∠ P A M = ∠ P H M

$\angle PAM=\angle PHM$ 可得

M A = M H,

$MA=MH,$ 于是

M

$M$ 的轨迹是抛物线的一部分，进而

P

$P$ 的轨迹是抛物线的一部分．

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