每日一题[1374]顶点弦代换

中心为原点 $O$ 的椭圆的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 为该椭圆右顶点，$P$ 为椭圆上一点，若 $\angle OPA=90^\circ$，则该椭圆的离心率的取值范围是_______．

答案    $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$．

解析    如图．

设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），又 $P(x,y)$ 亦满足

$$x(x-a)+y^2=0,x\ne 0,a,$$ 记椭圆的离心率为 $e$，于是 $$e^2-1=-\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{x^2-a^2}=\dfrac{-x(x-a)}{x^2-a^2}=-1+\dfrac{a}{x+a},$$ 又 $0<x<a$，于是 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$．