每日一题[1373]冻结变量

已知动点 $P$ 在直线 $l:2x+y-2=0$ 上，过点 $P$ 作互相垂直的直线 $PA,PB$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $AB$ 的中点，$O$ 为坐标原点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac 25$．

解析    如图，连接 $MP$．

由于 $MP=\dfrac 12AB=OM$，于是 $$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}=\dfrac 12|OP|^2\geqslant \dfrac12 d^2(O,l)=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{2^2+1^2}}\right)^2=\dfrac 25,$$ 等号当 $P$ 为 $O$ 在直线 $l$ 上的投影时取得，因此所求的最小值为 $\dfrac 25$．