每日一题[1371]盲区

如图,正方形 ABC 的边长为 20 米,圆 O 的半径为 1 米,圆心是正方形的中心,点 P,Q 分别在线段 AD,CB 上,若线段 PQ 与圆 O 有公共点,则称点 Q 在点 P 的盲区中,已知点 P1.5 米/秒的速度从 A 出发向 D 移动,同时,点 Q1 米/秒的速度从 C 出发向 B 移动,则在点 PA 移动到 D 的过程中,点 Q 在点 P 的盲区中的时长为_______.

答案    8(71)3

解析    建立平面直角坐标系 ABDO(10,10)P(0,3t2)Q(20,20t),其中 0t403,于是直线 PQ 的方程为y=(1t8)x+3t2,也即(8t)x8y+12t=0,于是点 O 到直线 PQ 的距离d(t)=2t(8t)2+82,不等式 d(t)13t2+16t1280,解得0t8(71)3,于是所求时长为 8(71)3

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