如图,正方形 ABC 的边长为 20 米,圆 O 的半径为 1 米,圆心是正方形的中心,点 P,Q 分别在线段 AD,CB 上,若线段 PQ 与圆 O 有公共点,则称点 Q 在点 P 的盲区中,已知点 P 以 1.5 米/秒的速度从 A 出发向 D 移动,同时,点 Q 以 1 米/秒的速度从 C 出发向 B 移动,则在点 P 从 A 移动到 D 的过程中,点 Q 在点 P 的盲区中的时长为_______.
答案 8(√7−1)3.
解析 建立平面直角坐标系 A−BD,O(10,10),P(0,3t2),Q(20,20−t),其中 0⩽t⩽403,于是直线 PQ 的方程为y=(1−t8)x+3t2,也即(8−t)x−8y+12t=0,于是点 O 到直线 PQ 的距离d(t)=2t√(8−t)2+82,不等式 d(t)⩽1 即3t2+16t−128⩽0,解得0⩽t⩽8(√7−1)3,于是所求时长为 8(√7−1)3.