每日一题[1371]盲区

如图，正方形 $ABC$ 的边长为 $20$ 米，圆 $O$ 的半径为 $1$ 米，圆心是正方形的中心，点 $P,Q$ 分别在线段 $AD,CB$ 上，若线段 $PQ$ 与圆 $O$ 有公共点，则称点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中，已知点 $P$ 以 $1.5$ 米/秒的速度从 $A$ 出发向 $D$ 移动，同时，点 $Q$ 以 $1$ 米/秒的速度从 $C$ 出发向 $B$ 移动，则在点 $P$ 从 $A$ 移动到 $D$ 的过程中，点 $Q$ 在点 $P$ 的盲区中的时长为_______．

答案    $\dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}{3}$．

解析    建立平面直角坐标系 $A-BD$，$O(10,10)$，$P\left(0,\dfrac{3t}2\right)$，$Q(20,20-t)$，其中 $0\leqslant t\leqslant \dfrac{40}3$，于是直线 $PQ$ 的方程为

$$y=\left(1-\dfrac t8\right)x+\dfrac {3t}2,$$ 也即 $$(8-t)x-8y+12t=0,$$ 于是点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $$d(t)=\dfrac{2t}{\sqrt{(8-t)^2+8^2}},$$ 不等式 $d(t)\leqslant 1$ 即 $$3t^2+16t-128\leqslant 0,$$ 解得 $$0\leqslant t\leqslant \dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}3,$$ 于是所求时长为 $\dfrac{8\left(\sqrt 7-1\right)}{3}$．