每日一题[1363]暴力消元

发表于2018年10月11日由意琦行

已知 $a,b>0$ ，若存在实数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$ ， $0\leqslant y\leqslant b$ ，且

$(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+b^2=a^2+y^2,$ 则

$\dfrac ba$ 的取值范围是_______．

答案 $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$ ．

解析由于

$(x-a)^2+(y-b)^2=(x^2+b^2)+(y^2+a^2)-2(ax+by),$ 于是设

$x^2+b^2=a^2+y^2=t$ （

$t\leqslant a^2+b^2$ ），则

$ax+by=\dfrac 12t.$ 将

$x=\sqrt{t-b^2}$ ，

$y=\sqrt{t-a^2}$ 代入，有

$a\sqrt{t-b^2}+b\sqrt{t-a^2}=\dfrac 12t,$ 解得

$t=4\left(a^2+b^2\pm \sqrt 3ab\right),$ 舍去“

$+$ ”，可得

$t=4\left(a^2+b^2-\sqrt 3ab\right),$ 进而可得

$(x,y)=\left(2a-\sqrt 3b,-\sqrt 3a+2b\right),$ 由

$a,b>0$ ，

$0\leqslant x\leqslant a$ ，

$0\leqslant y\leqslant b$ ，可得

$\dfrac{\sqrt 3}2\leqslant \dfrac ba\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3},$ 而

$(a,b,x,y)=\left(\sqrt 3,2,1,0\right),\left(2,\sqrt 3,0,1\right)$ 时满足题意，因此所求取值范围是

$\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$ ．

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《每日一题[1363]暴力消元》有5条回应

arockmath说：

2018年10月16日下午2:59

设 $C(a,b),D(a,0),E(0,b)$ 其实 $A,B$ 就是分别在矩形 $ODCE$ 的边 $DC,CE$ 上然后知道 $AO=\dfrac{a}{\cos\alpha},BO=\dfrac{b}{\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{3}}$ 令 $AO=BO$ 可以求到 $\dfrac{b}{a}$ 的范围。

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- arockmath说：
  
  2018年10月16日下午3:01
  
  漏了一个括号 $AO=\dfrac{a}{\cos\alpha},BO=\dfrac{b}{\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{3})}$
  
  然后根据几何图形的关系，其实可以判断出 $\alpha$ 的范围，
  
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- 意琦行说：
  
  2018年10月17日下午5:39
  
  嗯，收到．
  
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arockmath说：

2018年10月12日下午11:09

可以数形结合，看成 $O(0,0),B(x,b),A(a,y)$ 三个点组成一个正三角形。然后令 $\angle AOx=\alpha$ ,得到 $AO,BO$ 长度的表示。然后令他们相等也可以求到比例范围

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- 意琦行说：
  
  2018年10月15日下午10:52
  
  不好控制 $x$ 与 $a$ ， $y$ 与 $b$ 的大小关系．
  
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