已知 $a,b>0$，若存在实数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$，且\[(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+b^2=a^2+y^2,\]则 $\dfrac ba$ 的取值范围是_______．
答案 $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$．
解析 由于\[(x-a)^2+(y-b)^2=(x^2+b^2)+(y^2+a^2)-2(ax+by),\]于是设 $x^2+b^2=a^2+y^2=t$（$t\leqslant a^2+b^2$），则\[ax+by=\dfrac 12t.\]将 $x=\sqrt{t-b^2}$，$y=\sqrt{t-a^2}$ 代入，有\[a\sqrt{t-b^2}+b\sqrt{t-a^2}=\dfrac 12t,\]解得\[t=4\left(a^2+b^2\pm \sqrt 3ab\right),\]舍去“$+$”，可得\[t=4\left(a^2+b^2-\sqrt 3ab\right),\]进而可得\[(x,y)=\left(2a-\sqrt 3b,-\sqrt 3a+2b\right),\]由 $a,b>0$，$0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$，可得\[\dfrac{\sqrt 3}2\leqslant \dfrac ba\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3},\]而 $(a,b,x,y)=\left(\sqrt 3,2,1,0\right),\left(2,\sqrt 3,0,1\right)$ 时满足题意，因此所求取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$．
设$C(a,b),D(a,0),E(0,b)$ 其实$A,B$就是分别在矩形$ODCE$的边$DC,CE$上然后知道$AO=\dfrac{a}{\cos\alpha},BO=\dfrac{b}{\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{3}}$ 令$AO=BO$可以求到$\dfrac{b}{a}$的范围。
漏了一个括号$AO=\dfrac{a}{\cos\alpha},BO=\dfrac{b}{\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{3})}$
然后根据几何图形的关系，其实可以判断出$\alpha$的范围，
嗯，收到．
可以数形结合，看成$O(0,0),B(x,b),A(a,y)$三个点组成一个正三角形。然后令$\angle AOx=\alpha$,得到$AO,BO$长度的表示。然后令他们相等也可以求到比例范围
不好控制$x$与$a$，$y$与$b$的大小关系．