从 1,2,⋯,2018 中取 k 个不同的数，其中任意 2 个数的商不等于 32，那么 k 的最大值为_______．
答案 1513．
解析 任何一个正整数 n 必然可以写成 a⋅b 的形式，其中 2∤a 且 3∤a，a,b∈N∗．此时 b=2p⋅3q，其中 p,q∈N．所有可能的 a 为1,5,7,11,13,17,19,⋯,将所有可能的 b 按对应的 p+q 的大小分成 10 行书写：1234698121827162436548132487210816224364961442163244867291281922884326489721458246384576864129619445127681152172810241536 按 a 的值依次对集合作分划，如{1⋅1},{1⋅2,1⋅3},{1⋅4,1⋅6},{1⋅9},⋯,{1⋅1296,1⋅1944},{5⋅5},{5⋅2,5⋅3},{5⋅4,5⋅6,},{5⋅9},⋯,{5⋅246,5⋅384},⋯{2017⋅1},则分划中每个集合至多取一个元素．接下来我们去掉所有 b 取第 2,4,6 列的数，则此时分划中每个集合恰好只取一个元素．列表辅助计数n1234567b361224274854[2018b]67233616884744237n891011121314b96108192216243384432[2018b]2118109854n15161718192021b486768864972153617281944[2018b]4222111 因此当 a 取不同值时需要去掉的数分别为anum(a)num(b)num(a)⋅num(b)11212151131371121211,13,1739271918823,25,⋯,3767424116643,47,⋯,731155577,79,83341285,89,⋯,16728384169,173,⋯,337572114341,343,⋯,6711111111SUM505 因此一共要去掉 505 个数，所求 k 的最大值为 1513．