每日一题[1338]齐次代换

已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12mx^2-x$．

1、当 $m=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）且 $\ln x_2-2\ln x_1>\dfrac{ax_1}{x_2-x_1}$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\ln x-mx,$$ 于是当 $m=4$ 时，有 $$f(1)=-3,f'(1)=-4,$$ 于是所求切线方程为 $y=-4x+1$．

2、根据题意，有

$$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=m,$$ 其中 $0<m<\dfrac{1}{\rm e}$．令 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$（$t>1$），则 $$x_1=\dfrac{\ln t}{m(t-1)},x_2=\dfrac{t\ln t}{m(t-1)},$$ 于是题意即 $$\forall t>1,a<m(x_2-2x_1)\cdot \left(\dfrac{x_2}{x_1}-1\right),$$ 也即 $$\forall t>1,a<\dfrac{(t-2)\ln t}{t-1}\cdot (t-1),$$ 也即 $$\forall t>1,a<(t-2)\ln t.$$ 记不等式右侧函数为 $\varphi(t)$，注意到 $$\varphi'(t)=\ln t-\dfrac 2t+1,$$ 于是 $\varphi'(t)$ 单调递增，而 $$\varphi'(1)<0<\varphi'(2),$$ 于是 $\varphi(t)$ 在 $(1,2)$ 上有极小值，亦为最小值点，记为 $t_0$，此时 $$\ln t_0-\dfrac 2{t_0}+1=0,$$ 而 $$\varphi(t_0)=(t_0-2)\ln t_0=(t_0-2)\cdot \left(\dfrac 2{t_0}-1\right)=4-\left(t_0+\dfrac 4{t_0}\right),$$ 由 $1<t_0<2$ 可得 $$-1<\varphi(t_0)<0,$$ 因此整数 $a$ 的最大值为 $-1$．