每日一题[1337]代数与几何

设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点，点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内，若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是（       ）

A．$\dfrac{2\sqrt 5}5$

B．$\dfrac{\sqrt 2}2$

C．$1$

D．$\dfrac{\sqrt 6}3$

答案    A．

解法一    建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$，则

$$\overrightarrow n_{ABCD}=(0,0,1),\overrightarrow n_{BCC_1B_1}=(0,1,0),$$ 设平面 $D_1MP$ 的方程为 $$\alpha:px+qy+rz+t=0,$$ 由 $\alpha$ 过点 $D_1(0,0,2)$ 和 $M(1,0,0)$，以及平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等可得 $$\begin{cases} 2r+t=0,\\ p+t=0,\\ |q|=|r|,\end{cases}$$ 于是 $$(p,q,r)=\left(-t,\pm\dfrac 12t,-\dfrac 12t\right),$$ 进而 $$\alpha:2x\pm y+z-2=0.$$ 因此点 $P$ 的轨迹为 $$l:2x+z=0,$$ 或 $$l:2x+z-4=0,$$ 进而 $C_1(0,2,2)$ 到 $l$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$ 即为所求．

解法二    如图，设 $M$ 在右侧面的投影为 $N$，则 $\triangle D_1MP$ 平面 $ABCD$ 和 $BCC_1B_1$ 上的投影面积相同，均为 $1$，于是点 $P$ 到直线 $NC_1$ 的距离为定值 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$，因此点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离为 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$．