设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点，点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内，若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
B．$\dfrac{\sqrt 2}2$
C．$1$
D．$\dfrac{\sqrt 6}3$
答案 A．
解法一 建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$，则\[\overrightarrow n_{ABCD}=(0,0,1),\overrightarrow n_{BCC_1B_1}=(0,1,0),\]设平面 $D_1MP$ 的方程为\[\alpha:px+qy+rz+t=0,\]由 $\alpha$ 过点 $D_1(0,0,2)$ 和 $M(1,0,0)$，以及平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等可得\[\begin{cases} 2r+t=0,\\ p+t=0,\\ |q|=|r|,\end{cases}\]于是\[(p,q,r)=\left(-t,\pm\dfrac 12t,-\dfrac 12t\right),\]进而\[\alpha:2x\pm y+z-2=0.\]因此点 $P$ 的轨迹为\[l:2x+z=0,\]或\[l:2x+z-4=0,\]进而 $C_1(0,2,2)$ 到 $l$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$ 即为所求．
解法二 如图，设 $M$ 在右侧面的投影为 $N$，则 $\triangle D_1MP$ 平面 $ABCD$ 和 $BCC_1B_1$ 上的投影面积相同，均为 $1$，于是点 $P$ 到直线 $NC_1$ 的距离为定值 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$，因此点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离为 $\dfrac{2}{\sqrt 5}$．
