每日一题[1336]掩人耳目

等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），$O$ 为抛物线顶点，$OA\perp OB$，$\triangle AOB$ 的面积是 $16$，抛物线的焦点为 $F$，$M$ 为抛物线上的动点，则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 3}3$

B．$\dfrac{\sqrt 6}3$

C．$\dfrac{2\sqrt 3}3$

D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$

答案    C．

解析    根据所求的量的齐次性，$\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值与 $p$ 的大小无关，不妨设 $p=2$，$M(t^2,2t)$，于是

$$\dfrac{|OM|}{|MF|}=\dfrac{\sqrt{t^4+4t^2}}{t^2+1}=\sqrt{\dfrac{t^4+4t^2}{t^4+2t^2+1}},$$ 设 $$\dfrac{t^4+4t^2}{t^4+2t^2+1}=m,$$ 则 $$(1-m)t^4+(4-2m)t^2-m=0,$$ 判别式 $$\Delta=4(4-3m)\geqslant 0,$$ 从而 $$m\leqslant \dfrac 43,$$ 当 $t^2=\dfrac 12$ 时可以取得等号，因此所求最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$．