已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$．
解析 只需要证明\[\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+4b+c}\geqslant \dfrac 12,\]根据柯西不等式，有\[LHS\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)}=\dfrac{\sum_{cyc}(a^2+2ab)}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)} \geqslant \dfrac 12,\]因此原不等式得证．