每日一题[1335]齐次

已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$．

解析    只需要证明

$$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+4b+c}\geqslant \dfrac 12,$$ 根据柯西不等式，有 $$LHS\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)}=\dfrac{\sum_{cyc}(a^2+2ab)}{\sum_{cyc}(a^2+5ab)} \geqslant \dfrac 12,$$ 因此原不等式得证．