每日一题[1332]消元

已知实数 $x,y,t$ 满足 $x^2+y^2=1$，$(x-t)^2+y^2=5$，则 $x^2+(y-2t)^2$ 的最小值是______．

答案    $5$．

解析    根据题意，有 $$y^2=1-x^2=5-(x-t)^2,$$ 于是 $$t^2y^2=t^2(1-x^2)=-\dfrac 14t^4+3t^2-4,$$ 从而 $$\begin{split} x^2+(y-2t)^2&=x^2+y^2-4ty+4t^2\\ &\geqslant 1-2\sqrt{-t^4+12t^2-16}+4t^2\\ &=25+4(t^2-6)-2\sqrt{16-(t^2-6)^2}\\ &\geqslant 25-\sqrt{4^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{(t^2-6)^2+16-(t^2-6)^2}\\&=5,\end{split}$$ 等号当 $\left(x,y,t\right)=\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2\right)$ 时取得，因此所求的最小值为 $5$．