每日一题[1331]直击要害

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=0$，$a_1=\dfrac 13$，且对任意 $n=1,2,\cdots$，均有 $3a_{n+1}-4a_n+3a_{n-1}=0$，求证：对任意正整数 $n$，均有 $|a_n|<\dfrac 12$．

解析    递推数列对应的特征方程为

$$3x^2-4x+3=0,$$ 于是特征根为 $$x=\dfrac{2\pm {\rm i}\sqrt 5}3,$$ 进而可得 $$a_n=\dfrac{{\rm i}\cdot \left[\left(\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n-\left(\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n\right]}{2\sqrt 5},n\in\mathbb N,$$ 因此 $$\begin{split} |a_n|&=\dfrac{\left|\left(\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n-\left(\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right)^n\right|}{2\sqrt 5}\\ &\leqslant \dfrac{\left|\dfrac{2-{\rm i}\sqrt 5}3\right|^n+\left|\dfrac{2+{\rm i}\sqrt 5}3\right|^n}{2\sqrt 5}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 5}<\dfrac 12,\end{split}$$ 因此原不等式得证．