每日一题[1329]双生结构

已知 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是方程组

$$\begin{cases} x^2-3xy=2016,\\ y^2-3xy=2017\end{cases}$$ 的两组解且 $\dfrac{x_1}{y_1}\ne \dfrac{x_2}{y_2}$，则 $\dfrac{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}{y_1y_2}$ 的值为______．

答案    $-\dfrac{2}{2017}$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}{y_1y_2}=\left(1-\dfrac{x_1}{y_1}\right)\left(1-\dfrac{x_2}{y_2}\right),$$ 于是考虑化齐次，有 $$\dfrac{x^2-3xy}{y^2-3xy}=\dfrac{2016}{2017},$$ 即 $$\dfrac{t^2-3t}{1-3t}=\dfrac{2016}{2017},$$ 其中 $t=\dfrac xy$．上述方程即 $$2017t^2-3t-2016=0,$$ 考虑到 $t_1=\dfrac{x_1}{y_1}$，$t_2=\dfrac{x_2}{y_2}$ 是该方程的两根，于是 $$2017(t-t_1)(t-t_2)=2017t^2-3t-2016,$$ 令 $t=1$，可得所求代数式的值为 $-\dfrac{2}{2017}$．

备注    如果没有 $\dfrac{x_1}{y_1}\ne \dfrac{x_2}{y_2}$ 的条件，则可能出现 $(x_1,y_1)=(-x_2,-y_2)$ 的情形，此时对应的 $t_1=t_2$，并不是关于 $t$ 的方程的两根．