每日一题[1328]迭代函数

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 43$，$a_{n+1}=a_n^2+\dfrac 2{a_n}-2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：$1<a_{n+1}<a_n$．

2、求证：$n+\dfrac 13\leqslant a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant n+2$．

解析

1、不动点方程为

$$x=x^2+\dfrac 2x-2,$$ 解得 $$x=1,\pm \sqrt 2,$$ 如图．

考虑到初值 $a_1=\dfrac 43$，于是数列 $\{a_n\}$ 应该单调递减收敛于 $1$．利用不动点 $x=1$ 改造递推公式，有

$$\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac{2}{a_n}+1,$$ 利用数学归纳法可以证明 $$1<a_n<\sqrt 2,$$ 进而有 $$1<a_{n+1}<a_n\leqslant \dfrac 43,$$ 命题得证．

2、当 $n=1$ 时不等式显然成立．

当 $n\geqslant 2$ 时，不等式即

$$0\leqslant \sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac 53,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结果，左边显然成立．而 $a_2=\dfrac{23}{18}$ 且 $$\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac 2{a_n}+1\leqslant \dfrac 56,$$ 于是 $$\sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac{a_2-1}{1-\dfrac 56}=\dfrac 53,$$ 因此原命题得证．