每日一题[1327]引入参数

已知单位平面向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 满足 $\overrightarrow e_1\perp \overrightarrow e_2$，若对任意平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 都有 $$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),$$ 则实数 $t$ 的最大值是（       ）

A．$\sqrt 3-1$

B．$1$

C．$\sqrt 5-1$

D．$2$

答案    C．

解析    根据题意，有 $$\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2\geqslant t\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),$$ 设 $\overrightarrow e_1=(1,0)$，$\overrightarrow e_2=(0,1)$，$\overrightarrow a=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow b=(x_2,y_2)$，则题意即 $$\forall x_1,y_1,x_2,y_2\in \mathbb R,x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\geqslant t(x_1x_2+y_1y_2+x_1y_2),$$ 引入参数，有 $$\left(\lambda x_1^2+x_2^2\right)+(1-\lambda)\left(x_1^2+y_2^2\right)+\left(\lambda y_2^2+y_1^2\right)\geqslant 2\sqrt {\lambda }\cdot |x_1x_2|+2(1-\lambda)\cdot |x_1y_2|+2\sqrt{\lambda}\cdot |y_1y_2|,$$ 令 $$2\sqrt {\lambda}=2(1-\lambda),$$ 解得 $$\lambda =\dfrac{3-\sqrt 5}2,$$ 取使得上述不等式取等号的正数 $x_1,y_1,x_2,y_2$，可得 $$t\leqslant 2\left(1-\dfrac{3-\sqrt 5}2\right)=\sqrt 5-1,$$ 又当 $t=\sqrt 5-1$ 时，有 $$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\geqslant \left(\sqrt 5-1\right)\cdot \left(|x_1x_2|+|y_1y_2|+|x_1y_2|\right)\geqslant t(x_1x_2+y_1y_2+x_1y_2),$$ 于是所求最大值为 $\sqrt 5-1$．