每日一题[1313]相切曲线

设椭圆 $\dfrac{x^2}{t+1}+\dfrac{y^2}{t-1}=1$ 与双曲线 $xy=1$ 相切，则 $t$ 的值为_______．

答案    $\sqrt 5$．

解析    双曲线 $xy=1$ 在 $x=m$ 处的切线为

$$y=-\dfrac 1{m^2}(x-m)+\dfrac 1m,$$ 即 $$x+m^2y-2m=0,$$ 椭圆与之相切于 $\left(m,\dfrac 1m\right)$，于是 $$\begin{cases} (t+1)+(t-1)m^4-4m^2=0,\\ \dfrac{m^2}{t+1}+\dfrac{1}{(t-1)m^2}=1,\end{cases}$$ 因此 $$4m^2=(t+1)(t-1)m^2,$$ 解得 $$t=\sqrt 5.$$