每日一题[1311]复数生实数

设虚数 $z$ 的模不为 $1$，复数 $w=z+\dfrac 1z$，则实数 $a=w+\dfrac 1w$ 的取值范围是_______．

答案    $(-1,1)$．

解析    由于虚数 $z$ 的模不为 $1$，于是 $w$ 为虚数，又 $w+\dfrac 1w$ 为实数，于是 $|w|=1$，进而

$$a=w+\overline w=2{\rm Re}(w).$$ 设 $z=(\theta:r)$，则 $$w=\left(r+\dfrac 1r\right)\cos\theta+{\rm i}\left(r-\dfrac 1r\right)\sin\theta,$$ 满足 $$\left(r+\dfrac 1r\right)^2\cos^2\theta+\left(r-\dfrac 1r\right)^2\sin^2\theta=1,$$ 即 $$r^2+\dfrac 1{r^2}=3-4\cos^2\theta,$$ 因此由 $$3-4\cos^2\theta>2,$$ 解得 $\cos^2\theta$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 14\right)$．此时 $$({\rm Re}(w))^2=(5-4\cos^2\theta)\cdot\cos^2\theta,$$ 于是 ${\rm Re}(w)$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，$a$ 的取值范围是 $(-1,1)$．