每日一题[1310]分解重组

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $c-a$ 等于 $AC$ 边上的高 $h$，则 $\sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2$ 的值是_______．

答案    $1$．

解析    一方面，有 $$\begin{split} \sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2&=\sin\dfrac C2\cos\dfrac A2-\cos\dfrac C2\sin\dfrac A2+\cos\dfrac C2\cos\dfrac A2-\sin\dfrac C2\sin\dfrac A2\\ &=\left(\cos\dfrac A2-\sin\dfrac A2\right)\left(\cos\dfrac C2-\sin\dfrac C2\right),\end{split}$$ 另一方面，根据题意有 $$h=c\sin A=a\sin C=c-a,$$ 于是由正弦定理可得 $$\sin C-\sin A=\sin A\sin C,$$ 也即 $$(1+\sin A)(1-\sin C)=1,$$ 也即 $$\left(\cos\dfrac A2+\sin\dfrac A2\right)^2\left(\cos\dfrac C2-\sin\dfrac C2\right)^2=1.$$ 考虑到 $\sin\dfrac{C-A}2$ 和 $\cos\dfrac{C+A}2$ 均为正数，于是 $$\sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2=1.$$