每日一题[1307]底数相近

《每日一题[1307]底数相近》有8条回应

1. LycheeM说：

   2018年8月17日 下午2:36

   最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩：
   因为
   

   $$\begin{split}\ln\left(\dfrac 65\right) & =-\ln\left(\dfrac 56\right)=-\ln\left(1-\dfrac 16\right)>{\dfrac 16},\\ \ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right)<{\dfrac 17},\end{split}$$
   所以
   $$7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),$$
   即
   $$\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.$$

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   • LycheeM说：

     2018年8月17日 下午3:10

     或者，根据均值不等式
     

     $$\left(\dfrac{n-1}n\right)^n=1\cdot\left(\dfrac{n-1}n\right)^n<\left(\dfrac{1+\dfrac{n-1}n\cdot n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1},$$
     即数列$\left\{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}\right\}$单调递减（事实上收敛于$\rm e$）。因此
     $$\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 87\right)^8<\left(\dfrac 65\right)^6.$$

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     • 意琦行说：

       2018年8月20日 下午1:47

       这个好，可以用来讲重要极限．我这的解法二就是后面用的对数放缩：），赞！

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2. LycheeM说：

   2018年8月17日 下午2:30

   试了两次，开头的公式总是显示不正确。。
   看看我的代码有什么问题？
   \[\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}\]


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   • LycheeM说：

     2018年8月17日 下午2:45

     不好意思，刷屏了，实在忍不住debug

     好像在同一个公式里，前面有个“小于号”，后面有个“大于号”，中间的部分就被忽略了。把两个不等式的位置换一下，把“大于号”放前面，“小于号”放后面，就没问题了。我在local测试mathjax没有这个问题。

     供参考。

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     • 意琦行说：

       2018年8月20日 下午1:46

       这是WP的问题，暂时没有好的处理方法，后台的方案是先将用转义符<和>替换．

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3. LycheeM说：

   2018年8月17日 下午2:23

   最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩：
   因为
   

   $$\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}$$
   所以
   $$7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),$$
   即
   $$\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.$$

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4. LycheeM说：

   2018年8月17日 下午2:10

   最后两个分数的幂的大小比较可以用对数来放缩：
   因为
   

   $$\ln\left(\frac 87\right)=\ln\left(1+\frac 17\right)\frac 16,$$
   所以
   $$7\ln\left(\frac 87\right)<1<6\ln\left(\frac 65\right),$$
   即
   $$\left(\frac 87\right)^7<\left(\frac 65\right)^6.$$

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