每日一题[1306]“显然”

已知三个非零平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 两两的夹角均为 $\theta$，求 $\theta$．

答案    $0,\dfrac{2\pi}3$．

解析    不妨设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 均为单位向量，将它们的起点放置在坐标平面 $xOy$ 的原点 $O$ 处，设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的终点分别为 $A,B,C$，且 $A$ 位于 $x$ 轴正半轴上．

情形一     $A,B,C$ 中有两个点重合．此时必然 $A,B,C$ 均重合，$\theta=0$，符合题意． 情形二    $A,B,C$ 中任何两个点不重合．容易证明 $A,B,C$ 不在任何一条过原点的直线同侧（包括该直线），否则某两个向量的夹角等于另外两个向量的夹角之和，矛盾．因此 $B,C$ 落在 $x$ 轴的两侧，进而 $B,C$ 关于 $x$ 轴对称（由于 $\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 与 $\overrightarrow a$ 的夹角相等），而 $A,B,C$ 不能同时位于 $y$ 轴右侧，于是 $B$ 只能落在第二象限，进而 $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 的夹角为

$$2(\pi-\theta)=\theta,$$ 解得 $$\theta=\dfrac{2\pi}3.$$ 综上所述，$\theta=0$ 或 $\theta=\dfrac{2\pi}3$．