每日一题[1301]唯一最值点

已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}3\right)$ 在 $(0,2]$ 上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 $\omega$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[-\dfrac{17\pi}{12},-\dfrac{5\pi}6\right)\cup\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}\right)$．

解析    显然 $\omega\ne 0$．

情形一    $\omega >0$．此时 $\omega x+\dfrac{\pi}3$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}3,2\omega+\dfrac{\pi}3\right]$，进而可得

$$\dfrac{2\pi}3\leqslant 2\omega+\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}2,$$ 解得 $$\dfrac{\pi}6\leqslant \omega<\dfrac{13\pi}{12}.$$

情形二    $\omega <0$．此时 $\omega x+\dfrac{\pi}3$ 的取值范围是 $\left[2\omega+\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$，进而可得

$$-\dfrac{5\pi}2<2\omega+\dfrac{\pi}3\leqslant -\dfrac{4\pi}3,$$ 解得 $$-\dfrac{17\pi}{12}<\omega\leqslant -\dfrac{5\pi}6.$$ 综上所述，$\omega$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17\pi}{12},-\dfrac{5\pi}6\right)\cup\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{13\pi}{12}\right)$．