每日一题[1290]先猜后证

已知 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$ 的取值范围为_______．

答案    $\left(1,\dfrac 98\right]$．

解析    令 $x=y$，则 $$m=\dfrac{(x+2)(2x+1)}{2(x+1)^2}=1+\dfrac{1}{2\left(x+\dfrac 1x\right)+4},$$ 于是 $m$ 可以取到 $\left(1,\dfrac 98\right]$ 中的所有实数． 另一方面，尝试证明 $$1<\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}\leqslant \dfrac 98,$$ 即 $$x+y<xy+x+y\leqslant \dfrac 18(x+y)(xy+x+y)+\dfrac 98(x+y),$$ 左边不等式显然成立，右边不等式即 $$y(x^2+1)+x(y^2+1)+x^2+y^2\geqslant 6xy,$$ 由均值不等式即得． 综上所述，所求的取值范围是 $\left(1,\dfrac 98\right]$．